Κάποια χρόνια πριν στο πλαίσιο διδασκαλίας πρωτοετών φοιτητών σε ελληνικό ΑΕΙ, κλήθηκα να διδάξω ένα μάθημα που δεν ήθελε κανείς άλλος από τους συναδέρφους. Το τμήμα ήταν χωρισμένο σε τεχνοκράτες των θετικών επιστημών και καλλιτέχνες που χρησιμοποιούσαν νέες τεχνολογίες. Τα μαθηματικά και η τέχνη, ήταν ένα παραμελημένο ορφανό, οι μεν μαθηματικοί το θεωρούσαν πολύ ελαφρύ για την επιστημοσύνη τους οι δε καλλιτέχνες από μαθηματικά δεν ήξεραν και πολλά. Εγώ πάλι πίστευα, και συνεχίζω να πιστεύω, ότι τα μαθηματικά και η τέχνη είναι έννοιες άρρηκτα συνδεδεμένες. Όχι μόνο επειδή η τέχνη δανείζεται στοιχεία από τα μαθηματικά, αλλά επειδή τόσο τα μαθηματικά όσο και η τέχνη αντιπροσωπεύουν την αρμονία και το κάλλος. Οι εικαστικές τέχνες δεν είναι δυνατό να νοηθούν ανεξάρτητα από τα μαθηματικά, και ιδιαίτερα από τη Γεωμετρία.

Η Τέχνη και η Γεωμετρία αποτελούν ένα αναπόσπαστο και ιδιάζον σύμπλεγμα. Το γεωμετρικό σχήμα παίζει σημαντικό ρόλο στις εικαστικές τέχνες, όπως και οι εικαστικές τέχνες –με τη μορφή του αισθητισμού- στα έργα που παράγει η Γεωμετρία. Ο καλλιτέχνης, ως σύνθετης και ενορχηστρωτής, εμψυχώνει τα απλά, αδρανή και άλαλα γεωμετρικά σχήματα και τα βάζει να ‘αφηγηθούν’ μέσω της σύνθεσης του. Τα στοιχεία της γεωμετρίας συντίθενται κάθε φορά με βασικούς άξονες την οπτική ισορροπία, τη συμμετρία και την αναλογία προκείμενου να αποδώσουν σε μια σχεδιαστική λύση την αρμονία, την πληρότητα και το κάλλος.

Η Τέχνη χρησιμοποιεί την Γεωμετρία στις συνθέσεις και στα σύνολα της, εκφράζοντας τον καλλιτέχνη δίνοντας φόρμα και σχήμα. Τα μαθηματικά από την άλλη, δανείζονται από τις τέχνες την ανεξαρτησία στη σύνθεση και τη λογική της αισθητικής χρήσης, πέραν της λειτουργίας, φαινόμενο που παρουσιάζεται κυρίως στην αρχιτεκτονική όπου εκτός της χρηστικότητας και λειτουργικότητας του χώρου ενδιαφέρει και το αισθητικό, εικαστικό κομμάτι.

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι οι καλλιτέχνες δανείζονται και εμπνέονται από τα μαθηματικά και κάθε καινούρια ανακάλυψη τροφοδοτεί την έμπνευση των τους, όπως έγινε με τη διαφορική γεωμετρία, τη Τοπολογία και τη σύγχρονη Άλγεβρα, τα Fractals πιο πρόσφατα. Η τέχνη ανακαλύπτει φρέσκα θέματα, καινούργιους καλλιτεχνικούς ορίζοντες, μέσα σε νέους, ανεξερεύνητους μαθηματικούς χώρους. Και δεν υπάρχει αμφιβολία πώς με το πέρασμα του χρόνου ολοένα και περισσότεροι καλλιτέχνες θα εμπνέονται και θα αντλούν τα θέματα τους από κάθε τι καινούργιο που θα ανακαλύπτεται στα μαθηματικά.

Όπως στα μαθηματικά, έτσι και στην τέχνη, για να πας ένα βήμα μπροστά πρέπει να κοιτάξεις πίσω, να δεις πράγματα που έχουν δει άλλοι και άλλα που δεν έχουν δει, να ανοίξεις το μυαλό σου σε νέες ιδέες και να εξερευνήσεις τον κόσμο με τα μάτια νεογέννητου. Το παιδί των μαθηματικών και της τέχνης είναι όσοι παραμένουν αχαλίνωτα ελεύθεροι μέσα σε ένα καθορισμένο σύστημα αξιών. Τα συγκροτημένα και αυστηρά μαθηματικά, τα γεωμετρικά σχήματα και η φαντασία του καλλιτέχνη μετουσιώνονται σε μια ενορχηστρωμένη χορογραφία, όπου το κάθε πράγμα έχει λόγο ύπαρξης.

“Geometry is the right foundation of all painting”, Albrecht Durer                                                                                                                                                               Ένας από τους καλλιτέχνες που χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά στην τέχνη τους είναι και ο Albrecht Durer, από τους σπουδαιότερους καλλιτέχνες της Αναγέννησης, που πολλοί συγκρίνουν με τον Leonardo da Vinci. Ο Durer, χρησιμοποίησε τη γεωμετρία στο έργο του και υπήρξε από τους πρώτους που ασχολήθηκε τόσο διεξοδικά με αυτήν όχι μόνο σαν καλλιτέχνης αλλά και σαν ερευνητής.

Ο Durer, γεννήθηκε το 1471 στη Νυρεμβέργη της Γερμανία. Ο πατέρας του, επίσης Albrecht Durer, ήταν χρυσοχόος με καταγωγή από την Ουγγαρία, παντρεύτηκε τη κόρη του αφεντικού του, Barbara Holper με την οποία έκαναν δεκαοχτώ παιδιά. Ο μικρός Albrecht, όπως είναι λογικό, εκπαιδεύτηκε στη χρυσοχοΐα στο εργαστήριο του πατέρα του και ήδη στην ηλικία των δώδεκα άρχισε να δημιουργεί τα πρώτα του χαρακτικά. Το πολυδιάστατο ταλέντο του εκφράσθηκε και μέσω της τυπογραφίας, όταν ο νονός του, Anton Koberger, επίσης χρυσοχόος, παράτησε την τέχνη του και ίδρυσε τυπογραφείο, ένα από τα πρώτα στην Ευρώπη.

Το μοναδικό ταλέντο του στο σχέδιο και στην χαρακτική τον έσπρωξε στην ηλικία των δεκαπέντε ετών, στο εργαστήριο του Michael Wolgemut ως μαθητευόμενο. Ο Michael Wolgemut ήταν εκείνη την εποχή ο μεγαλύτερος καλλιτέχνης της Νυρεμβέργης, με ένα από τα μεγαλύτερα εργαστήρια που τροφοδοτούσε με έργα πολυτελείας ευγενείς και βασιλείς.

Το 1495, ανοίγει το δικό του εργαστήριο, και αναπτύσσει το ύφος του αναμιγνύοντας την ιταλική τεχνοτροπία στις αυστηρά τευτονικές φόρμες του. Τα καλύτερα έργα του σε αυτά τα πέντε χρόνια ήταν τα ξυλόγλυπτα του, που είχαν κυρίως θρησκευτικά θέματα και ήταν πιο μεγάλα σε μέγεθος, πιο πολύπλοκα στη σύνθεση και πιο ισορροπημένα σε σύγκριση με τα ξυλόγλυπτα των Γερμανών καλλιτεχνών της εποχής. Αυτή την περίοδο δημιουργεί τα καλύτερα, ίσως, έργα του όπως τον «Άσωτο Υιό» και την «Αποκάλυψη». Τυπώνει και εκδίδει τα περισσότερα από αυτά τα έργα του, στην αρχή μεμονωμένα και στη συνέχεια σε ολοκληρωμένες εκδόσεις.

Το 1500 επισκέπτεται τη Νυρεμβέργη ο διάσημος Βενετός καλλιτέχνης Jacopo de Barbari, με την παρότρυνση του οποίου, ο Durer αρχίζει να μελετάει την ανατομία, αναλογία και προοπτική στο ανθρώπινο σώμα. Αποτέλεσμα της μελέτης του είναι το περίφημο χαρακτικό «Αδάμ και Εύα», το οποίο φανερώνει τη μοναδική του μαεστρία (είναι και το μοναδικό χαρακτικό το οποίο υπογράφει με ολόκληρο το όνομα του.

Μέχρι το 1511 δημιουργεί πολλά έργα και κατόπιν παραγγελιών, όπως το «Μαρτύριο των Δέκα Χιλιάδων» για τον Φρειδερίκο τον Σοφό, το τέμπλο για την Αγιά Τράπεζα «Η Σύλληψη της Παρθένου» για τον Jacob Heller και τη «Λατρεία της Παρθένου» για τον Matthaeus Landauer. Ταυτόχρονα, την ίδια περίοδο ολοκληρώνει δυο σειρές με ξυλόγλυπτα, «Το Θείο Πάθος» και η «Ζωή της Παρθένου», τα οποία συμπεριελήφθησαν στην δεύτερη έκδοση της «Αποκάλυψης», και τα οποία είναι φτιαγμένα με τη μέθοδο του chiaroscuro (η διαβάθμιση φωτός και σκιάς και ο τρόπος που αποδίδονται αυτά ισορροπούν μέσα στην γενική σύνθεση).

Κατά τα έτη 1513 – 1516 σταμάτησε να ζωγραφίζει, γιατί όπως έλεγε τα χρήματα που έβγαζε από τους πίνακες δεν δικαιολογούσαν τον χρόνο που περνούσε για τη δημιουργία τους, οπότε αφιερώθηκε κατά κύριο λόγο στα χαρακτικά και δημιούργησε τρία από τα διασημότερα χαρακτικά του κατά το 1513 – 1514 : « Ο Ιππότης, Ο Θάνατος και Ο Διάβολος», «Ο Άγιος Ιερώνυμος στη Μελέτη» και το γνωστότερο έργο του, τη «Μελαγχολία». Επίσης, το έργο του «Ρινόκερος» βασίστηκε σε γραπτή περιγραφή του ζώου χωρίς να το έχει ποτέ δει.

Το 1521 επιστρέφει στη Νυρεμβέργη με την υγεία του καταβεβλημένη, πιθανά είχε προσβληθεί από ελονοσία. Εξαιτίας της ασθένειας του, τα έργα του «Η Σταύρωση» και “Ιερή Συνομιλία” μένουν ατελή, και έτσι αφοσιώνεται στο θεωρητικό κομμάτι με μια μελέτη πάνω στη γεωμετρία, την προοπτική και την αναλογία. Το πρώτο από τα δύο βιβλία του, το «Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt», κυκλοφορεί σε τέσσερις τόμους, και είναι ένα εγχειρίδιο για τη μέτρηση των ανθρώπινων αναλογιών, αλλά κυρίως για τις μεθόδους της προοπτικής. Το δεύτερο βιβλίο του, το «Vier Bucher von Menschlicher Proportion», ασχολείται με τις ανθρώπινες αναλογίες, εκδίδεται μετά τον θάνατο του, και γίνεται ένας χρήσιμος οδηγός για τους ζωγράφους της εποχής.

Ο Durer και τα πολύεδρα

Ποια είναι όμως η πραγματική σ*+χέση του Durer με τα μαθηματικά και τη γεωμετρία πέρα από τα δύο βιβλία που εξέδωσε; Ο Durer για να ζωγραφίσει οποιοδήποτε σχήμα χρησιμοποιούσε μόνο χάρακα και διαβήτη. Ενδιαφέρον θα ήταν να δούμε ποια ήταν η χρήση και η γνώση της γεωμετρίας την εποχή του Durer. Τον 16ο αιώνα η γεωμετρία ήταν ήδη γνωστή και απαραίτητη στις διάφορες συντεχνίες της εποχής. Κι όμως η γεωμετρία των μεσαιωνικών συντεχνιών (ars mechanica) ήταν ριζικά διαφορετική απ’ αυτή που διδασκόταν στα πανεπιστήμια ως ελευθέρια τέχνη (ars liberalis). Στην δεύτερη περίπτωση, η γεωμετρία ή “τέχνη της μέτρησης“ διδασκόταν σε θεωρητικό επίπεδο με τη μελέτη αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, όπως του Ευκλείδη και σ’ ένα πρακτικό που σχετιζόταν με τον υπολογισμό γραμμών, επιφανειών και σωμάτων. Η γεωμετρία των συντεχνιών, ή “τέχνη της κατασκευής”, δεν ενδιαφερόταν για την μαθηματική κατανόηση της γεωμετρίας ούτε για αποδείξεις. Δείγμα αυτού του είδους της γεωμετρίας είναι δύο βιβλία γραμμένα από δύο τεχνίτες, τον Matthus Roriczer και τον Hans Schuttermeyer και περιείχαν συγκεκριμένα αρχιτεκτονικά σχήματα. Οι κατασκευές που περιέγραφαν φανέρωναν ότι οι συγγραφείς είχαν μάθει να κατασκευάζουν εμπειρικά και δεν είχαν μελετήσει γεωμετρία, καθώς για την υλοποίηση τους έπρεπε να ακολουθήσεις τις οδηγίες βήμα – βήμα. Ο Durer όμως δεν ήταν απλά ένας εμπειρικός. Τα βιβλία του μπορεί να μην περιείχαν  μαθηματικές αποδείξεις (εκτός από μία), αφού ήθελε να γίνει κατανοητός στους καλλιτέχνες της εποχής, εξηγεί όμως τα βασικά γεωμετρικά σχήματα ώστε να μπορούν να συνδυαστούν κατά βούληση.

Ο Durer μελετούσε τα πολύεδρα μέσω των δικτύων τους εφαρμόζοντας το θεώρημα Euler. Κατά τον Durer, τα πολύεδρα είναι σώματα που σίγουρα αξίζουν την προσοχή ενός καλλιτέχνη. Έδινε τόση σημασία στα πολύεδρα που δεν δίστασε να σχεδιάζει στα βιβλία του απλωμένα τα πολύεδρα, για να κάνει εφικτή την κατασκευή τούς ακόμη και από τον πιο αδαή. Το χαρακτικό του “Μελαγχολία” εκτός των άλλων, περιέχει το πρώτο μαγικό τετράγωνο που φτιάχτηκε στην Ευρώπη. Το τετράγωνο αυτό είναι ένας πλέγμα 4Χ4 όπου το κάθε επιμέρους τετράγωνο περιέχει ένα αριθμό ενώ στα δύο μεσαία τετράγωνα περιέχει την ημερομηνία 1514.

Στο ίδιο χαρακτικό υπάρχει ένα πολύεδρο, που αποτελείται από οκτώ έδρες, δύο ισόπλευρα τρίγωνα και έξι πεντάγωνα. Ο Πανόφσκυ, ο πιο γνωστός μελετητής του Durer, περιγράφει το πολύεδρο ως ένα κομμένο ρομβοειδές. Αν και Dürer δεν διευκρινίζει πώς κατασκευάζεται το στερεό αυτό, ο Schreiber σημειώνει  ότι  αποτελείται από έναν διαστρεβλωμένο κύβο που τεντώνεται αρχικά για να δώσει τα ρομβικά ‘πρόσωπα’ (πλευρές) με  γωνίες 72 μοιρών, και έπειτα περικόπτεται στην κορυφή και το κατώτατο σημείο.

O ίδιος ο Durer θεωρούσε αυτά τα πολύεδρα εγγεγραμμένα σε μία σφαίρα. Στο βιβλίο του απεικονίζει τα δίκτυα από δύο ”κανονικά”, υπό την έννοια ότι εγγράφονταν σε σφαίρα, πολύγωνα δικής του εφεύρεσης.  Στα γραπτά του, τονίζει συνεχώς ότι τα σώματά που σχεδιάζει εγγράφονται σε σφαίρα, άρα τα θεωρεί κανονικά.

Μια άλλη μέθοδος που χρησιμοποιούσε για την μελέτη των πολυέδρων ήταν η απεικόνιση αντικειμένων στο χώρο με τις προβολές τους σε δύο ή τρία αμοιβαία κάθετα επίπεδα. Ο Durer δημιούργησε ένα πλέγμα μέσω του οποίου ένα τρισδιάστατο σώμα μπορούσε να αναπτυχθεί με ακρίβεια πάνω σε μία επίπεδη επιφάνεια. Ένα γραμμικό πλέγμα όμως, με τις οριζόντιες και κάθετες γραμμές του, ήταν υπερβολικά εύκολο και όχι και τόσο λειτουργικό. Έτσι ανέπτυξε μία καινούργια μέθοδο, κατασκευάζοντας πολυγωνικά πλέγματα στο επίπεδο, παρόμοια με τα μωσαϊκά της Ισλαμικής τέχνης, των οποίων η φόρμα ήταν η συνεχής επανάληψη του τετραγώνου και του τριγώνου. Σε κάθε κορυφή επαφής συναντιόνται πάντα τα ίδια ακριβώς πολύγωνα και μάλιστα με την ίδια τοποθέτηση.

Υπήρξε ένας από τους πρώτους δασκάλους της προοπτικής. Θεώρησε ότι η γεωμετρία ήταν το σωστό θεμέλιο για όλους που σχεδιάζουν και η αρχή του ήταν “διδάξτε τα στοιχεία και τις αρχές της γεωμετρίας σε όλους τους  πρόθυμους νεαρούς που έχουν πάθος για την τέχνη.” Οι έρευνες του Durer σχετικά με την απεικόνιση των ζωντανών μορφών  και η φύση τον οδήγησαν  να γράψει το “The Theory of Curves” ως τμήμα αυτής της σειράς πραγματειών στην τέχνη που επηρέασε  γενεές  καλλιτεχνών.

O *Δρ. Μιχάλης Αρβανίτης είναι μαθηματικός, έχει διδακτορικό τίτλο στη σεισμική τομογραφία από το Πανεπιστήμιο Πατρών, μεταπτυχιακό τίτλο στη διαχείριση καινοτομίας από το ΜΙΤ (ΗΠΑ) και μεταδιδακτορικό στη μέθοδο του γεωραντάρ από το Πανεπιστήμιο Ben Gurion (Ισραήλ). Είναι αντιπρόεδρος έρευνας και ανάπτυξης για την εταιρεία GSSI (ΗΠΑ) στην Ευρώπη, τη Μέση Ανατολή και την Αφρική. Twitter: @MichaelAiriely

Βιβλιογραφία

P. J. Federico, “The Melancholy Octahedron,” Mathematics Magazine, pp. 30-36, 1972.

C. H. MacGillavry, “The Polyhedron in A. Durer’s ‘Melancolia I’: An Over 450 Years Old Puzzle Solved?” Netherland Akad Wetensch. Proc., 1981.

E. Panofsky, The Life and Art of Albrecht Durer, Princeton, 1955.

P. Schreiber, “A New Hypothesis on Durer’s Enigmatic Polyhedron in His Copper Engraving ‘Melencholia I’,” Historia Mathematica, 26, pp. 369-377, 1999.

K. D. Walton, “Albrecht Durer’s Renaissance Connections Between Mathematics and Art,” The Mathematics Teacher, pp. 278-282                                                                                                 

J. Sharp, “Durer’s Melancholy Octahedron,” Mathematics in School, Sept. 1994, pp. 18-20

        D W Crowe, Albrecht Dürer and the regular pentagon, in Fivefold symmetry (River Edge, NJ,   1992), 465-487